kasus satu sampel

 Uji Binomial

Definisi dan fungsi penyajian

        Uji binomial menguji hipotesis suatu proporsi populasi yang terdiri dari dua kelompok kelas, misalnya kelas pria dan wanita,senior atau junior dll.Datanya berbentuk nominal dan jumlah sampelnya kecil.

        Distribusi binomial adalah distribusi sampling dari proporsi-proporsi yang mungkin diamati dalam sampel-sampel random yang ditarik dari populasi yang terdiri dari dua kelas, test nya bertipe goodness-of-fit.Dari test ini kita tahu apakah cukup alasan untuk percaya bahwa proporsi-proporsi yang kita amati dalam sampel kita berasal dari suatu populasi yang memiliki nilai tertentu.

Keterangan :

-Uji Binomial menguji hipotesis tentang suatu proporsi populasi.

-Ciri binomial adalah data berupa dua (bi) macam unsur, yaitu ‘gagal’ atau ‘sukses’ yang diulang sebanyak n kali.

-Dalam hal ini pemakai bebas untuk mendefinisikan apa yang dimaksud ‘sukses’ dan apa yang dikategorikan ‘gagal’,atau hal lainya yang mendefinisikan antara 2 pilihan.

Data :

-Skala pengukuran nominal

-Sampel terdiri dari n pengamatan yang independen, tiap pengamatan hasilnya hanya dua macam

Langkah-langkah pengujian :

Ho :   p1  = p2 = 0,5

H₁   : p1  ≠ p2  (uji dua arah)

               >       (uji satu arah)

               <       (uji satu arah)

α  : taraf nyata

Statistik Uji :

Untuk ukuran sampel kecil (n ≤ 25)

-Jika n ≤ 25 dan jika p=q=1/2 (p dan q = peluang),lihat tabel D (siegel,1997) yang menyajikan kemungkinan satu sisi/one tailed untuk kemunculan harga z pengamatan dibawah Ho.Uji satu sisi digunakan apabila telah memiliki perkiraan frekuensi mana yang lebih kecil. Jika belum memiliki perkiraan, harga p dalam tabel D dikalikan dua (harga p = p_tabel x 2)

 -Kriteria uji : tolak Ho jika p ≤ α (satu arah) atau p ≤ α/2 (dua arah), terima dalam hal lainya.

Untuk ukuran sampel besar (n ≥ 25)

-gunakan pendekatan distribusi binom pada distribusi normal yaitu :

T + 0,5     jika     T < n

T – 0,5     jika     T > n

keterangan :
T : Banyaknya yang "sukses"
n : banyaknya sampel
p : peluang "sukses" = 1/2

-kriteria uji : tolak  jika p ≤ α (satu arah) atau  p ≤  (dua arah), terima dalam hal lainya.

Contoh soal :

Untuk n ≤ 25

Suatu toserba mengharapkan bahwa 50% pengunjung akan berbelanja ditempatnya. Untuk itu ia melakukan pencatatan terhadap para pengunjung, ternyata dari 20 orang yang datang, 15 orang yang tidak berbelanja. Apakah harapan pemilik toserba tersebut terpenuhi ? α = 5%

Jawab :

Ho  :  p1 = p2  = 0,5 ( harapan pemilik toserba terpenuhi)

H₁   :  p1 ≠ p2           (harapan pemilik toserba tidak terpenuhi)

α     : 0,05

Statistik uji :

Lihat tabel D untuk N = 20 dan k = 15, maka diperoleh p = 0,994

Karena dalam penelitian ini menggunakan uji dua arah maka p dikalikan dengan 2

P = 2 x 0,994 = 1,988

Kriteria uji  : tolak  jika p ≤ α (satu arah) atau  p ≤  α/2 (dua arah), terima dalam hal lainya.

Karena p = 1,988 > α  = 0,05, maka  diterima.berarti harapan pemilik toserba terpenuhi sehingga 50% dari pengunjung toserba akan berbelanja di toko tsb.

Contoh soal :

Untuk n ≥ 25

Seorang calon presiden dari partai X menyatakan bahwa dia bisa meraih 50% suara di kota A, setelah proses pemilu berakhir, dari sejumlah 4000 pemilih ternyata yang memilih calon tersebut sejumlah 2055 orang. Apakah hasil pemilu memuaskan calon tersebut? α = 5%

Jawab :

Ho : p1 = p2  = 0,5   (hasil pemilu memuaskan)

H₁  : p1 ≠ p2            (hasil pemilu tidak memuaskan)

α     : 0,05

Statistik uji :

Dengan n = 4000 ,  1/2n = 2000, T1 = 2055,  T2= 4000 – 2055 = 1945

Maka T yang sebaiknya diambil adalah T2 yang nilainya lebih kecil.karena T <  n maka dipakai 

T + 0,5, Sehingga :

z = -1,72

p = 0,0427

Kriteria uji : tolak  Ho jika p ≤ α (satu arah) atau  p ≤ α/2  (dua arah), terima dalam hal lainya

Karena p = 0,0427 < α = 0,05 maka  ditolak berarti hasil pemilu tidak memuaskan sehingga seorang calon presiden di kota X tsb tidak bisa meraih 50% suara di kota A.

Metode Shapiro-Wilk Untuk Uji Normalitas

            Metode Shapiro-Wilk menggunakan data dasar yang belum diolah dalam tabel distribusi frekuensi. Data diurut, kemudian dibagi dalam dua kelompok untuk dikonversi dalam Shapiro Wilk. Dapat juga dilanjutkan transformasi dalam nilai Z untuk dapat dihitung luasan kurva normal.

Rumus :

 

Persyaratan

a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)

b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi

c. Data dari sampel random

Signifikansi

Signifikansi dibandingkan dengan tabel Shapiro Wilk. Signifikansi uji   T₃  nilai  dibandingkan dengan nilai tabel Shapiro Wilk, untuk dilihat posisi nilai probabilitasnya (p). Jika nilai p lebih dari 5%, maka Ho diterima ;  ditolak. Jika nilai p kurang dari 5%, maka Ho ditolak ;  diterima. lampiran 6, Tabel Harga Quantil Statistik Shapiro-Wilk Distribusi Normal. Jika digunakan rumus G, maka digunakan tabel 2 distribusi normal.

Contoh Soal :

Berdasarkan data usia sebagian balita yang diambil sampel secara random dari posyandu Mekar Sari Wetan sebanyak 24 balita, didapatkan data sebagai berikut : 58, 36, 24, 23, 19, 36, 58, 34, 33, 56, 33, 26, 46, 41, 40, 37, 36, 35, 18, 55, 48, 32, 30 27  bulan. Selidikilah data usia balita tersebut, apakah data tersebut diambil dari populasi yang berdistribusi normal pada α = 5% ?

Jawab :

Ho : tidak beda dengan populasi normal

H₁ : ada beda populasi normal

α    : 0,05

 

Langkah Berikutnya adalah :

 

 diperoleh:

 T₃ = 0,9391

Nilai tabel

Pada lampiran 6 dapat dilihat, nilai α (0,10) = 0,930 ; nilai α (0,50) = 0,963

Daerah penolakan

Nilai T3 terletak diantara 0,930 dan 0,963, atau nilai p hitung terletak diantara 0,10 dan 0,50, yang diatas nilaiα (0,05) berarti Ho diterima

Kesimpulan

Sampel diambil dari populasi normal, α = 0,05

Sumber :

http://www.scribd.com/doc/25182223/Metode-Shapiro-Wilk

 

Metode Kolmogorov-Smirnov Untuk Uji Normalitas

            Metode Kolmogorov-Smirnov tidak jauh beda dengan metode Lilliefors. Langkah-langkah penyelesaian dan penggunaan rumus sama, namun pada signifikansi yang berbeda. Signifikansi metode Kolmogorov-Smirnov menggunakan tabel pembanding Kolmogorov-Smirnov, sedangkan metode Lilliefors menggunakan tabel pembanding metode Lilliefors.

Rumus :

No	xi		Ft	Fs	|  Ft-Fs |
1
2
3
4
5
n

Keterangan :

X_i                   =  angka pada data

zi               = angka baku

Ft              = probabilitas kumulatif normal

Fs              =  probabilitas kumulastif empiris

s                = simpangan baku

Ft = komulatif proporsi luasan kurva normal berdasarkan notasi Zi, dihitung dari luasan kurva mulai dari ujung kiri kurva sampai dengan titik Z.

 

Nb : data harus diurutkan terlebih dahulu di tabel

Persyaratan

a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)
b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi
c. Dapat untuk n besar maupun n kecil.

Signifikansi

Signifikansi uji, nilai  terbesar | Ft  - Fs  |  dibandingkan dengan nilai tabel Kolmogorov-Smirnov. Jika nilai | Ft - Fs |   terbesar kurang dari nilai tabel Kolmogorov-Smirnov, maka Ho diterima ; H₁ ditolak. Jika nilai | Ft  - Fs | terbesar lebih besar dari nilai tabel Kolmogorov-Smirnov, maka Ho ditolak ;  H₁ diterima. Tabel Kolmogorov-Smirnov  pada lampiran 4, Tabel Harga Quantil Statistik Kolmogorov-Smirnov Distribusi Normal. 

Contoh soal :

Suatu penelitian tentang berat badan peserta pelatihan kebugaran fisik/jasmani dengan sampel sebanyak 27 orang diambil secara random, didapatkan data sebagai berikut ; 78, 78, 95, 90, 78, 80, 82, 77, 72, 84, 68, 67, 87, 78, 77, 88, 97, 89, 97, 98, 70, 72, 70, 69, 67, 90, 97 kg. Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas diambil dari populasi yang berdistribusi normal?

Jawab :

Ho : tidak beda dengan populasi normal.

H_{1 :}  ada beda dengan populasi nomal.

α   : 0,05

No	Xi		Ft	Fs	| Ft -Fs |
1	67	-1,39	0,0823	0,0740	0,0083
2	67	-1,39	0,0823	0,0740	0,0083
3	68	-1,29	0,0985	0,1111	0,0126
4	69	-1,19	0,1170	0,1481	0,0311
5	70	-1,10	0,1357	0,2222	0,0865
6	70	-1,10	0,1357	0,2222	0,0865
7	72	-0,90	0,1841	0,2963	0,1122
8	72	-0,90	0,1841	0,2963	0,1122
9	77	-0,42	0,3372	0,3704	0,0332
10	77	-0,42	0,3372	0,3704	0,0332
11	78	-0,32	0,3745	0,5185	0,1440
12	78	-0,32	0,3745	0,5185	0,1440
13	78	-0,32	0,3745	0,5185	0,1440
14	78	-0,32	0,3745	0,5185	0,1440
15	80	-0,12	0,4522	0,5555	0,1033
16	82	0,07	0,5279	0,5926	0,0647
17	84	0,26	0,6026	0,6296	0,0270
18	87	0,55	0,7088	0,6666	0,0422
19	88	0,65	0,7422	0,7037	0,0385
20	89	0,75	0,7734	0,7407	0,0327
21	90	0,84	0,7995	0,8148	0,0153
22	90	0,84	0,7995	0,8148	0,0153
23	95	1,33	0,9082	0,8518	0,0547
24	97	1,53	0,9370	0,9629	0,0259
25	97	1,53	0,9370	0,9629	0,0259
26	97	1,53	0,9370	0,9629	0,0259
27	98	1,62	0,9474	1,000	0,0526
rata2	81,2963
S	10,2837

Statistik uji :

D = maks  | Ft  - Fs  |  = 1,440

Kriteria uji : tolak  Ho  jika Dmaks  ≥ Dtabel , terima dalam hal lainya.dengan α = 0,05 dan N=27

Karena Dmaks  = 0,1440 < Dtabel  = 0,2540,jadi Ho diterima,berarti sampel yang diambil dari populasi yang berdistribusi normal.